Question

已知分段函数f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，则函数g（x）=f（x）-x在区间[-5，5]上的零点之和为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数零点的判定定理

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：当x≤0时，f（x）与y=x只有一个交点（0，0），函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，（4，5]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得0，1，2，3，4，5，可得零点之和．

解答： 解：当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
当4＜x≤5时，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-5+4，
所以，函数f（x）=2^x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后：①将函数f（x）=2^x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，
即得到函数f（x）=2^x-1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2^x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为
（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，
故函数g（x）=f（x）-x在区间[-5，5]内所有零点的和为 0+1+2+3+4+5=15．
故答案为：15．

点评：本题考查了分段函数及运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结，要细心解答，属于中档题．