Question

已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=-ln（1-x），设函数f（x）=

x3  (x≤0) g(x)  (x＞0)

，若f（2-x²）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1）∪（2，+∞）
• B、（-∞，-2）∪（1，+∞）
• C、（1，2）
• D、（-2，1）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先由函数g（x）是奇函数，求出函数g（x）的解析式，再利用f（x）与g（x）的关系得到f（x）的单调性，利用函数单调性解不等式f（2-x²）＞f（x），求出实数x的取值范围．

解答： 解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=-ln（1-x），
∴当x＞0时，g（x）=-g（-x）=-[-ln（1+x）]=ln（1+x）．
∵函数f（x）=

x3  (x≤0) g(x)  (x＞0)

，
∴当x≤0时，f（x）=x³为单调递增函数，值域（-∞，0]．
当x＞0时，f（x）=lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．
∴函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增．
∵f（2-x²）＞f（x），
∴2-x²＞x，
即x²+x-2＜0，
∴（x+2）（x-1）＜0，
∴-2＜x＜1．
∴x∈（-2，1）．
故选：D．

点评：本题考查了奇函数的解析式求法、分段函数的单调性研究、函数单调性的应用，属于中档题，确定函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增是关键．