题目内容

如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD边长为2，侧棱AA1=6．
（1）点P在侧棱AA1上，若AP=
1
3
，求证：平面PBD⊥平面C1BD；
（2）求几何体BA1C1D的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）连结AC交BD于点O，连结C1O，PO，证明C1O⊥BD，C1O⊥OP，可得C1O⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面C1BD；
（2）几何体BA1C1D的体积等于正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积减去4个角落的体积．
解答： （1）证明：连结AC交BD于点O，连结C1O，PO
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，
∴C1C⊥平面ABCD且O为BD、AC中点，
∴C1C⊥CD，C1C⊥BC
又∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，
∴CD=CB，∴C1D=C1B，
∴C1O⊥BD
又C1O=
(
2
)2+62
=
38
，
PO=
OA2+PA2
=
(
2
)2+(
1
3
)2
=
19
9
，
PC1=
A1P2+A1C12
=
(6-
1
3
)2+(2
2
)2
=
361
9
，
C1O2+PO2=8+
19
9
=
38×9+19
9
=
361
9
=PC12
∴C1O⊥OP，
∵OP∩BD=0
∴C1O⊥平面PBD　　　
又∵C1O?平面C1BD
∴平面PBD⊥平面C1BD…（6分）
（2）解：VBA1C1D等于正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积减去4个角落的体积，
设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V
∴VBA1C1D=V-
1
6
V×4=
1
3
V=
1
3
×2×2×6=8…（12分）
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，体积的计算，其中熟练掌握面面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
1
3
x3+ax2-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-
11
3
）处的切线斜率为-4，
（1）求f（x）的表达式．
（2）求y=f（x）在区间[-3，6]上的最值．
四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=
1
2
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（2）求证：EF⊥面PBD
（3）求三棱锥B-CDF的体积．
设函数f（x）=2x3-9x2+12x分别在x1，x2处取得极小值，极大值．xoy平面上点A，B的坐标分别是（x1，f（x1）），（x2，f（x2））．
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（2）该平面上动点P满足
PA
•
PB
=4，求P点的轨迹方程．
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2
AB=2，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）若PB=BC，求四棱锥P-ABCD的体积．
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（1）证明{an+
1
2
}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=
S2
b2
．
（1）求an与bn；
（2）设数列{cn}满足cn=
1
Sn
，{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜
2
3
．
计算求值：
（1）计算
∫
π
2
0
（sin
x
2
+cos
x
2
）2dx；
（2）已知复数z满足z•
.
z
-i（
.
3z
）=1-（
.
3i
），求z．
若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成3：1的两段，过点C（-1，0），斜率k为的直线l交椭圆于不同两点A、B，满足
AC
=2
CB
．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当三角形OAB的面积最大时，求椭圆的方程．

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