Question

已知f（x）=9^x-2×3^x+4，x∈[-1，2]．
（1）已知f（x）=7，求x的值；
（2）设t=3^x，x∈[-1，2]，求t的最大值与最小值；
（3）求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，令3^x=t（t＞0），先解t，再解x．
（2）根据指数函数的单调性求其最值；
（3）把f（x）转化为关于变量t的二次函数，根据二次函数的性质即可求得最值．

解答： 解：（1）令3^x=t（t＞0），
∴f（x）=t²-2t+4=7，
解得：t=3或t=-1（舍）；
∴3^x=3，
∴x=1；
（2）∵t=3^x在[-1，2]是单调增函数，
∴tmax=32=9，tmin=3-1=

1

3

；
（3）令t=3^x，∵x∈[-1，2]，∴t∈[

1

3

，9），
∴t=1时，x=0，f（x）_min=3，
当t═3时，此时x=2，f（x）=_max=67．
故f（x）的最大值为67，最小值为3．

点评：本题考查二次函数在闭区间上最值求解，考查指数函数的性质，考查学生的转化能力，注意换元后变量范围的变化．