Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n，S_n，S_n-

1

2

成等比数列，
（1）求a₂，a₃，a₄并归纳出a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=2时，结论显然成立，第二步，先假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，利用假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答： 解：（1）由已知当n≥2时，a_n，S_n，S_n-

1

2

成等比数列，
得到Sn2=an(Sn-

1

2

)，
∵a₁=1，∴a2=-

2

3

，a3=-

2

15

，a4=-

2

35

；
归纳n＞1时，a_n=-

2

(2n-3)(2n-1)

；所以an=

1，n=1 2 (2n-3)(2n-1) ，n＞1

；
（2）证明：①当n=2时，a2=-

2

3

=-

2

(2×2-3)(2×2-1)

成立；
②假设n=k时公式成立，即ak=-

2

(2k-3)(2k-1)

成立，
则n=k+1时，

∵sk2=- 2 (2k-3)(2k-1) (sk- 1 2 )⇒sk=- 1 2k-3 ＜0(舍)或sk= 1 2k-1 ＞0 ∵sk+12=ak+1(sk+1- 1 2 )⇒(sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+sk- 1 2 )

∴

1

(2k-1)2

+

2ak+1

2k-1

+ak+12=ak+12+

ak+1

2k-1

-

1

2

ak+1；
∴ak+1=-

2

(2k-1)(2k+1)

=-

2

[2(k+1)-3][2(k+1)-1]

；
∴n=k+1时，命题成立．
由①②可得a_n=-

2

(2n-3)(2n-1)

对n＞1的一切正整数都成立．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．