Question

由下列不等式：1＞

1

2

，1+

1

2

+

1

3

＞1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＞

3

2

，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＞2，…，你能猜想得到一个怎样的一般不等式？用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：根据给出的几个不等式不等式：1＞

1

2

，1+

1

2

+

1

3

＞1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＞

3

2

，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＞2，…，
即一般不等式为：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＞

n

2

．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，1＞

1

2

，猜想正确．
②假设n=k时猜想成立，即不等式：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＞

k

2

，
则n=k+1时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k+1

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

=

k

2

+

2k

2k+1

=

k

2

+

1

2

=

k+1

2

，
即当n=k+1时，猜想也成立，
所以对任意的n∈N⁺，不等式成立．

点评：本题考查数学猜想，以及数学归纳法的证明，特别注意n=k+1时不等式两边项数的变化，并且必须用上假设，考查逻辑思维能力，计算能力．