Question

过点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），△ABC内切圆心在直线x=1，x=-1上移动，
（1）求顶点C的轨迹方程；
（2）过圆x²+y²=2上一点的切线l交轨迹C于点A，B两点，求证：∠AOB为定值．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的切线方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意画出图形，利用圆的切线长相等得到C满足|CF₁|-|CF₂|=±2，从而求得双曲线方程；
（2）设出切点P的坐标，表示出过切点的圆x²+y²=2的方程，和双曲线方程联立后利用根与系数的关系得到两焦点A，B的横纵坐标的积，代入数量积公式得答案．

解答： （1）解：如图，
设切点分别为D、E、F，内心在直线x=1上时，则|CF₁|-|CF₂|=|F₁E|-|F₂F|=|F₁D|-|F₂D|=(

3

+1)-(

3

-1)=2，
同理，内心在x=-1上时，|CF₁|-|CF₂|=-2，
故|CF₁|-|CF₂|=±2，
∴C的方程为x2-

y2

2

=1(y≠0)；
（2）证明：设切点P（x₀，y₀），l与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则l方程为x₀x+y₀y=2，
由

x2- y2 2 =1 x0x+y0y=2

⇒(2

y

2 0

-

x

2 0

)x2+4x0x-(2

y

2 0

+4)=0，
当y₀≠0时，2

y

2 0

-

x

2 0

≠0，
∴x1+x2=-

4x0

2 y 2 0 - x 2 0

，x1x2=-

2 y 2 0 +4

2 y 2 0 - x 2 0

，
又y1y2=

2-x0x1

y0

•

2-x0x2

y0

=

8-2 x 2 0

2 y 2 0 - x 2 0

，x02+y02=2，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4-2(x02+y02)

2 y 2 0 - x 2 0

=0，
∴OA⊥OB⇒∠AOB=90°；
当y₀=0时，上述结论仍成立，综上可知∠AOB=90°．

点评：本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的标准方程，体现了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．