Question

如果正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中EF分别是BB₁、CD中点．
（1）求证：AD⊥D₁F；
（2）求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（3）若AB=2，求VE-AA1F．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明AD⊥平面CDD₁C₁，然后利用直线与平面垂直的性质定理证明AD⊥D₁F；
（2）通过证明D₁F⊥平面ADE，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面AED⊥平面A₁FD₁；
（3）利用AB=2，通过等体积求解，求出底面面积，即可求VE-AA1F．

解答： （1）证明：由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁⇒AD⊥DD₁，AD⊥DC，DD₁∩DC=D，∴AD⊥平面CDD₁C₁，
∵D₁F?平面CDD₁C₁，∴AD⊥D₁F；
（2）证明：在AB上取中点F₁，则A₁F₁∥D₁F，又在正方形ABB₁A₁中可证AE⊥A₁F₁，⇒AE⊥D₁F，
又∵AD⊥D₁F，AE∩AD=A，∴D₁F⊥平面ADE，D₁F?平面A₁FD₁
∴平面AED⊥平面A₁FD₁；
（3）解：∵S△AA1E=S△AA1B=2，
∴VF-AA1E=VF-AA1B=

1

3

•2•2=

4

3

．

点评：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．转化思想的应用．