Question

设f（x）定义域为R，x＞0时f（x）＞1且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），
（1）求f（0）；
（2）判断其单调性并证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）为使f（x+y）=f（x）•f（y）中有f（0），由当x＞0时，f（x）＞1．可设x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），结合f（1）＞1可求f（0）
（2）要证明f（x）在R上是增函数，即证明当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），当x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0，则f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁），可证

解答： 解：（1）：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），
即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）f（x）再其定义域上为增函数．
证明：∵对x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得当x₁＞0时，f（x₁）＞1＞0
当x₁=0时，f（x₁）=1＞0
当x₁＜0时，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1∴0＜f（x₁）＜1
故对于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函数f（x）为增函数．

点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数单调性的定义及其证明，转化化归的思想方法