Question

设函数f（x）=log_a（1+ax）-log_a（1-ax），其中a＞0，且a≠1．
（1）当a=2时，解不等式f（x）-1＞0；
（2）当a＞1时，若关于x的不等式f（x）-1＞0恒成立，求a的取值范围；
（3）若f（x₀）=x₀-1，证明|x₀|＜1．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1，转化为：

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

求解即可；
（2）把不等式f（x）-1＞0恒成立转化为

1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ＞a

恒成立，进一步得到

a-1

a2+a

＜x＜

1

a

恒成立，然后求解不等式

a-1

a2+a

＜

1

a

得答案；
（3）由log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，得到-1-

2

ax0-1

=ax0-1（ax₀-1＜0），分类后构造函数，由函数的单调性即可得到证明．

解答： （1）解：a=2时，不等式f（x）-1＞0化为：log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1
即

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

，解得：

1

6

＜x＜

1

2

．
∴不等式的解集为(

1

6

，

1

2

)；
（2）解：当a＞1时，关于x的不等式f（x）-1＞0恒成立，即log_a（1+ax）-log_a（1-ax）＞1恒成立，
也就是

1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ＞a

恒成立．
则

- 1 a ＜x＜ 1 a x＞ a-1 a2+a

，∴

a-1

a2+a

＜x＜

1

a

恒成立，
则

a-1

a2+a

＜

1

a

恒成立，解得a＞0，
∴a＞1；
（3）证明：由f（x₀）=x₀-1，得log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，
∴

1+ax0＞0 1-ax0＞0 1+ax0 1-ax0 =ax0-1

，即-1-

2

ax0-1

=ax0-1（ax₀-1＜0），
当a＞1时，由-

1

a

＜x0＜

1

a

说明|x₀|＜1成立；
当0＜a＜1时，令g（x）=-

2

ax-1

=

- 2 a

(x- 1 a )

，
t（x）=a^x-1+1，
根据单调性可判断两函数图象交点的横坐标x₀满足-1＜x₀＜1，
故不等式|x₀|＜1成立．

点评：本题综合考查了对数函数的性质，考查了对数不等式的解法，体现了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题目．