Question

求数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n，设b_n=

an

an+1

，记数列{b_n}的前n和为T_n，证明-

1

3

＜T_n-

n

2

＜0．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得到数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式得到数列{a_n}的通项公式，代入b_n=

an

an+1

后求出bn-

1

2

=

2n-1

2n+1-1

-

1

2

=

-1

2n+2-2

，然后利用放缩法证明数列不等式．

解答： 证明：由S_n=2a_n-n，得a₁=S₁=2a₁-1，即a₁=1；
当n≥2时，由S_n=2a_n-n，得S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式作差得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，即a_n=2a_n-1+1．
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∵a₁+1=2≠0，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则an+1=2•2n-1=2n，an=2n-1．
则b_n=

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

．
则bn-

1

2

=

2n-1

2n+1-1

-

1

2

=

-1

2n+2-2

．
∴Tn-

n

2

=-(

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

+

1

2n+2-2

)＜0，
∴T_n-

n

2

＜0；
∴

1

2n+2-2

=

1

2n-2+3•2n

＜

1

3•2n

．
则T_n-

n

2

＞-

1

3

(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

)=-

1

3

+

1

3•2n

＞-

1

3

．
∴-

1

3

＜T_n-

n

2

＜0．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式，属难题．