题目内容
4．已知过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F作倾斜角120°的直线l交椭圆为A，B，若$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，则椭圆的离心率为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
分析 方法一：由直线方程，代入椭圆方程，利用求根公式求得A和B的横坐标，由-y1=2y2．代入求得a和c的关系，利用离心率公式，即可求得椭圆的离心率；
方法二：利用椭圆的第二定义及相似三角形的性质，求得丨AF丨=$\frac{2}{3}$丨AC丨，e=$\frac{丨AF丨}{丨AC丨}$=$\frac{2}{3}$．
解答 
解：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．
直线l的斜率k=-$\sqrt{3}$，直线l方程为y=-$\sqrt{3}$（x-c），．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3a2+b2）y2-2$\sqrt{3}$b2cy-3b4=0，解得y1=$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，y2=$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，则-y1=2y2．即-$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$=2×$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
整理得：3c=2a，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
故选D
方法二：如图，设设椭圆的右准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，则丨AB丨=2丨AG丨，…①
由椭圆的第二定义得：e=$\frac{丨AF丨}{丨AC丨}$=$\frac{丨BF丨}{丨BD丨}$，
∵丨$\overrightarrow{AF}$丨=2丨$\overrightarrow{FB}$丨，则丨AC丨=2丨BD丨，
直角梯形ABDC中，丨AG丨=丨AC丨-丨BD丨=$\frac{1}{2}$丨AC丨…②
由①②可知，可得丨AB丨=丨AC丨，
又∵丨AF丨=$\frac{2}{3}$丨AC丨，
∴e=$\frac{丨AF丨}{丨AC丨}$=$\frac{2}{3}$，
∴离心率为=$\frac{2}{3}$．
故选D．
点评 本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的第二定义，利用椭圆的位置关系时，计算复杂，熟练掌握椭圆的第二定义，可以简化计算，提高做题速度，属于中档题．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：| A． | 3 | B． | $\frac{7}{2}$ | C． | 4 | D． | $\frac{9}{2}$ |
| A． | $\frac{5}{6}π$ | B． | $\frac{1}{3}π$ | C． | $\frac{11}{6}π$ | D． | $\frac{2}{3}π$ |
| A． | 2 | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 1 |
| A． | 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动$\frac{π}{8}$个单位长度 | |
| B． | 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位长度 | |
| C． | 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位长度 | |
| D． | 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再向左平行移动$\frac{π}{8}$个单位长度 |