Question

13．已知数列{a_n}满足：S_n+1•S_n=a_n+1，又${a_1}=\frac{2}{9}$，
（1）求证：数列$\{\frac{1}{S_n}\}$为等差数列；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）由题意，得S_n+1?S_n=S_n+1-S_n，两边同时除以 S_n+1?S_n 得$1=\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}$，即可证明结论；
（2）写出S_n，即可求a_n．

解答 （1）证明：由S_n+1?S_n=a_n+1 及a_n+1=S_n+1-S_n，得S_n+1?S_n=S_n+1-S_n（n∈N₊），
若存在 S_n=0，则 a_n=S_n?S_n-1=0，从而 S_n-1=S_n-a_n=0．
以此类推知 S₁=0，矛盾，故S_n≠0（n∈N₊）．
从而两边同时除以 S_n+1?S_n 得$1=\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}$，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1（n∈{N}_{+}）$，
所以 $\left\{\frac{1}{{S}_{n}}\right\}$ 是首项为 $\frac{9}{2}$，公差为-1 的等差数列．
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{9}{2}-（n-1）=\frac{11}{2}-n$，
故${S}_{n}=\frac{2}{11-2n}（n∈{N}_{+}）$．
从而n≥2，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{（11-2n）（13-2n）}$，
n=1，a₁=$\frac{2}{9}$，
所以${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{9}，&n=1\\ \frac{4}{（11-2n）（13-2n）}，&n≥2.\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．