题目内容
12．一个口袋中装有大小形状完全相同的n+3个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余n个乒乓球上均标有数字3（n∈N*），若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是$\frac{8}{15}$．（1）求n的值；
（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设ξ表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
分析 （1）利用题设条件列出方程求出n的值；
（2）由题设知ξ取值为3，4，5，6，求出对应的概率值，写出ξ的分布列和数学期望值．
解答 解：（1）由题意知，$\frac{{C}_{n+1}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{n+3}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
整理得2n2-5n-3=0，
解得n=3或n=-$\frac{1}{2}$（不合题意，舍去）；
∴n=3；
（2）由题设知ξ取值为3，4，5，6；
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{+C}_{1}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | $\frac{2}{15}$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法问题，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是综合题．
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