题目内容
16．过抛物线y=2x2的焦点F作倾斜角为120°的直线交抛物线于A、B两点，则弦|AB|的长为（ ）| A． | 2 | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 1 |
分析 求出抛物线的焦点坐标F（0，$\frac{1}{8}$），用点斜式设出直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．
解答 解：根据抛物线y=2x2方程得：焦点坐标F（0，$\frac{1}{8}$），
直线AB的斜率为k=tan120°=-$\sqrt{3}$，
由直线方程的点斜式方程，设AB：y-$\frac{1}{8}$=$-\sqrt{3}$x
将直线方程代入到抛物线方程当中，得：2x2+$\sqrt{3}$x$-\frac{1}{8}$=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
x1x2=-$-\frac{1}{16}$．
y1+y2=$\frac{1}{4}$-$\sqrt{3}$（x1+x2）=$\frac{1}{4}+3$
弦长|AB|=$\sqrt{1+（-\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2•$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}$=2．
故选：A．
点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
1．已知α∈（0，π），若sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos2α-sin2α=（ ）
| A． | -$\frac{\sqrt{5}}{3}$ | B． | -$\frac{\sqrt{2}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ |
5．已知x2+y2-4x-2y-4=0，则$\frac{2x+3y+1}{x+2}$的最小值是（ ）
| A． | -2 | B． | $-\frac{17}{4}$ | C． | $-\frac{29}{5}$ | D． | $2-\frac{{9\sqrt{7}}}{7}$ |