题目内容
14．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A-D1PC的体积不变；
②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；
③二面角P-AD1-C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．
其中真命题的编号是①③④（写出所有真命题的编号）
分析 ①：点P是直线BC1的动点，△AD1P的面积是定值，而点C到平面AD1P的距离也是定值，故得到结论；
②：可以从向量的角度进行判断；
③：平面PD1A平面ACD1的法向量的夹角是不变的，得到结论．
④：由M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，M点的轨迹是线段DC1在空间的垂直平分线与面A1B1C1D1的交点．
解答 解：对于①：∵点P是直线BC1的动点，∴△AD1P的面积是定值，∵点C到平面AD1P的距离不变，∴①正确；
对于②：∵随着P点的移动，$\overrightarrow{AP}$与平面ACD1的法向量的夹角也是变化的，∴②错误；
对于③：∵平面PD1A平面ACD1的法向量的夹角是不变的，∴③正确；
对于④：∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴M点的轨迹是线段DC1在空间的垂直平分线与面A1B1C1D1的交点，故其轨迹是直线A1D1，故④正确．
故答案为，①③④
点评 本题考查了空间点、线、面的位置关系，空间轨迹问题，属于中档题．
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