Question

19．（1）解三角不等式：cosx≥$\frac{1}{2}$
（2）在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦函数的图象和性质，解三角不等式，求得不等式的解集．
（2）利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，根据sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得sinA-cosA的值，可得sinA和cosA的值，进而求得tanA的值．

解答 解：（1）由cosx≥$\frac{1}{2}$，可得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，故不等式的解集为$[{-\frac{π}{3}+2kπ，\;\frac{π}{3}+2kπ}]（{k∈Z}）$
（2）解∵sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①
两边平方，得2sinAcosA=-$\frac{1}{2}$，从而知cosA＜0，∴∠A∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴sinA-cosA=$\sqrt{{（sinA-cosA）}^{2}}$=$\sqrt{1-2sinAcosA}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．②
由①②，得sinA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cosA=$\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-2-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角不等式的解法，余弦函数的性质，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．