Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）证明：{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记${b_n}=\frac{1}{{{{[{{log}_2}（{a_n}+1）]}^2}+{{log}_2}（{a_n}+1）}}$，设S_n为数列{b_n}的前项和，证明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为a_n+1=2a_n+1，所有$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=\frac{{2{a_n}+1+1}}{{{a_n}+1}}=2$，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．即可求得通项．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，累加即可求和，证明结论．

解答 解：（Ⅰ）因为a_n+1=2a_n+1，所有$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=\frac{{2{a_n}+1+1}}{{{a_n}+1}}=2$．…（2分）
又a₁+1=2，所以{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．…（4分）
${a_n}+1=2•{2^{n-1}}={2^n}$，因此求{a_n}得通项公式${a_n}={2^n}-1$．…（6分）
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以${S_n}=（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}$． …（10分）
因为n∈N^*，所以S_n＜1．…（12分）

点评 本题考查了利用数列递推式求通项、考查了裂项求和，属于中档题．