Question

2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（　　）日．（结果保留一位小数．参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）

• A． 1.3
• B． 1.5
• C． 2.6
• D． 2.8

Answer 1

分析 设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a_n}，其a₁=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为A_n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b_n}，其b₁=1，公比为2，其前n项和为B_n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．

解答 解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a_n}，其a₁=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为A_n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b_n}，其b₁=1，公比为2，其前n项和为B_n．
则A_n=$\frac{3[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$，B_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，令$\frac{3[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
化为：2ⁿ+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，
解得2ⁿ=6，2ⁿ=1（舍去）．
∴n=$\frac{lg6}{lg2}$=1+$\frac{lg3}{lg2}$≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故答案为：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．