Question

17．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；
（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若η～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）利用组中值代替本组数据计算平均值，和168比较得出结论；求出后3组的面积之和，再乘上总人数得出成绩在172个以上（含172个）的人数；
（2）利用正态分布得出全市前130名的成绩，得出50名社区居民中符合条件的人数，使用超几何分布的概率公式得出分布列．

解答 解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72，
∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．
50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4=10．
（2）∵P（168-3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴P（ξ≥180）=$\frac{1}{2}$（1-0.9974）=0.0013，
∵0.0013×100 000=130．
∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），
这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．
∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{45}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴E（ξ）=0×$\frac{28}{45}$+1×$\frac{16}{45}$+2×$\frac{1}{45}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了频率分布直方图，正态分布与超几何分布，属于中档题．