Question

设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*，设集合A同时满足以下三个条件：①A⊆P_n；②若x∈A，则2x∉A；
③若x∈∁ PnA，则2x∉∁ pnA．当n=4时，写出一个满足条件的集合A

 

；当N=9时，满足条件的集合A的个数为

 

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）由题意可得P₄={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）；
（2）任取偶数x∈p_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，?k为偶数；若m∉A，则x∈A?k为奇数，求出f（n）的解析式，将9代入可得答案．

解答： 解：（1）当n=4时，P₄={1，2，3，4}，
符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，
故答案为：{2}或{1，4}或{2，3}或{1，3，4}；
（2）任取偶数x∈p_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，
于是x=m•2^k，其中m为奇数，k∈N^*
由条件可知，若m∈A，则x∈A?k为偶数；
若m∉A，则x∈A?k为奇数；
于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q_n是P_n中所有的奇数的集合，
因此f（n）等于Q_n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P_n中奇数的个数是

1

2

n（或

n+1

2

），
∴f（n）=

2 n 2 ，n为偶数 2 n+1 2 ，n为奇数

，
故当N=9时，f（9）=2⁵=32，
故答案为：32．

点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义．