Question

设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＞0的解集为

 

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Answer 1

考点：导数的运算

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：先确定函数y=x²f（x）在（一∞，0）上是减函数，再根据（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＞0，可得（x+2014）²f（x+2014）＞（-2）²f（-2），即可得出结论．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，2f（x）+xf′（x）＞x²，
∴2xf（x）+x²f′（x）＜0，
∴[x²f（x）]′＜0，
∴函数y=x²f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∵（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＞0
∴（x+2014）²f（x+2014）＞（-2）²f（-2），
∴x+2014＜-2，
∴x＜-2016，
∴不等式的解集为（-∞，-2016）．
故答案为：（-∞，-2016）．

点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，正确确定函数y=x²f（x）在（一∞，0）上是减函数是关键．