Question

5．若直线3x+4y=2，则x²+y²的最小值为$\frac{4}{25}$，最小值点为（$\frac{6}{25}$，$\frac{8}{25}$）．

Answer 1

分析 由柯西不等式（x²+y²）（3²+4²）≥（3x+4y）²=4，可得x²+y²≥$\frac{4}{25}$，由等号成立的条件和直线方程联立，求解即可得出结论．

解答 解：由柯西不等式（x²+y²）（3²+4²）≥（3x+4y）²=4，
即25（x²+y²）≥4，
∴x²+y²≥$\frac{4}{25}$．
当且仅当4x=3y时取等号．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x=3y}\\{3x+4y=2}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{25}}\\{y=\frac{8}{25}}\end{array}\right.$
∴x²+y²的最小值为$\frac{4}{25}$，最小值点为（$\frac{6}{25}$，$\frac{8}{25}$）．

点评 本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键，是基础题．