Question

17．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+5}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为ρ²-6ρsinθ=-8．
（1）求圆N的直角坐标方程；
（2）判断直线l与圆N的位置关系．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标和直角坐标的关系进行化简求解即可．
（2）消去参数求出直线l的普通方程，求出圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断．

解答 解：（1）∵y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
∴由ρ²-6ρsinθ=-8得x²+y²-6y=-8，
即x²+（y-3）²=1，
则圆N的直角坐标方程是x²+（y-3）²=1；
（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+5}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$，
∴消去参数t得$\frac{y-1}{3}=\frac{x-5}{-4}$，即3x+4y-19=0，
则圆心C（0，3）的直线的距离d=$\frac{|0+4×3-19|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7}{5}$＞1，
即直线l与圆N的位置关系是相离．

点评 本题主要考查圆的方程以及直线好圆的位置关系的判断，根据极坐标和参数方程与普通坐标之间的关系，转化为普通方程是解决本题的关键．