Question

2．已知f₁（x）=sinx+cosx，记${f_2}（x）={f_1}'（x），{f_3}（x）={f_2}'（x），…，{f_n}（x）={f_{n-1}}'（x），（n∈{N^*}，n≥2）$，则${f_1}（\frac{π}{2}）+{f_2}（\frac{π}{2}）+…+{f_{2015}}（\frac{π}{2}）$=-1．

Answer 1

分析 利用三角函数求导法则求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴${f_1}（\frac{π}{2}）+{f_2}（\frac{π}{2}）+…+{f_{2015}}（\frac{π}{2}）$=f₁（$\frac{π}{2}$）+f₂（$\frac{π}{2}$）+f₃（$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查了导数的运算以及三角函数的应用问题，解题时应考查函数f_n（x）的周期性，总结规律，求出正确的答案．