题目内容

7．已知数列{an}为等比数列，a1=3，a4=81，若数列{bn}满足bn=（n+1）log3an，则{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和Sn=$\frac{n}{n+1}$．

分析 利用等比数列的通项公式可得q，an．再利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设等比数列{an}的公比为q，a1=3，a4=81，
∴81=3×q3，解得q=3．
∴an=3n．
数列{bn}满足bn=（n+1）log3an=n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和Sn=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
17．（文）对任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log2512]=3595．
18．函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+1（x≤0）\\{e^{ax}}（x＞0）\end{array}\right.$在[-2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（　　）
A．$[\frac{1}{3}ln2，+∞）$B．$[0，\frac{1}{3}ln2]$C．（-∞，0]D．$（-∞，\frac{1}{3}ln2]$
15．（1）已知集合A={x|y=$\sqrt{{x}^{2}-5x-14}$}，B={x|m+1≤x≤2m+1}．若A∪B=A，求实数m的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的值域是[$\frac{1}{4}$，4]，求函数y=f（x）-2$\sqrt{f（x）}$的值域．
2．已知f1（x）=sinx+cosx，记${f_2}（x）={f_1}'（x），{f_3}（x）={f_2}'（x），…，{f_n}（x）={f_{n-1}}'（x），（n∈{N^*}，n≥2）$，则${f_1}（\frac{π}{2}）+{f_2}（\frac{π}{2}）+…+{f_{2015}}（\frac{π}{2}）$=-1．
12．已知函数$f（x）={log_2}（1+\frac{1}{x}）$．
（1）求使f（x）＞1的x的取值范围；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（127）的值．
19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，其公差为-1，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）
A．2B．-2C．$\frac{1}{2}$D．$-\frac{1}{2}$
16．已知{an}为等差数列，a1+a3=2，则a2等于（　　）
A．-1B．1C．3D．7
17．若函数f（x）=2|x-a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网