题目内容

学校游园活动有这样一个项目：甲箱子里装1个白球，2个黑球，乙箱子里装1个白球，1个黑球，这些球除颜色外没有区别．规定：从甲箱子中摸出一个白球记2分，摸出一个黑球记0分；从乙箱子中摸出一个白球记1分，摸出一个黑球记0分．从甲、乙箱子中各摸一个球叫摸球一次（摸后放回），每个人有两次摸球机会，若两次摸球的总分大于等于4分即获奖．
（Ⅰ）记摸一次球的得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求一个人获奖的概率．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（1）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（Ⅱ）设事件M：“一个人获奖”，事件A：“两次摸球，一次得1分，一次得2分”，事件B：“两次摸球都得2分”，事件C：“两次摸球一次得2分，一次得3分”，事件D：“两次摸球都得3分”，P（M）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D），由此能求出一个人获奖的概率．
解答： 解：（1）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
2
3
×
1
2
=
1
3
，
P（X=1）=
2
3
×
1
2
=
1
3
，
P（X=2）=
1
3
×
1
2
=
1
6
，
P（X=3）=
1
3
×
1
2
=
1
6
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
1
3
1
3
1
6
1
6
∴EX=0×
1
3
+1×
1
3
+2×
1
6
+3×
1
6
=
7
6
．
（Ⅱ）设事件M：“一个人获奖”，事件A：“两次摸球，一次得1分，一次得2分”，
事件B：“两次摸球都得2分”，事件C：“两次摸球一次得2分，一次得3分”，
事件D：“两次摸球都得3分”，
P（A）=2P（X=1）P（X=3）=2×
1
3
×
1
6
=
1
9
，
P（B）=P（X=2）P（X=2）=
1
6
×
1
6
=
1
36
，
P（C）=2P(X=2)P(X=3)=2×
1
6
×
1
6
=
1
18
，
P（D）=P（X=3）P（X=3）=
1
6
×
1
6
=
1
36
，
因为A、B、C、D彼此互斥，且M=A∪B∪C∪D
所以有互斥事件的概率加法公式得：
P（M）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）
=
1
9
+
1
36
+
1
18
+
1
36
=
2
9
．
故一个人获奖的概率为
2
9
．…（12分）
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率的求法的合理运用．
练习册系列答案
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π
2
）的图象关于直线x=
2
3
π对称，且它的最小正周期为π，则（　　）
A、f（x）在区间[
5π
12
，
3π
4
]上是减函数
B、f（x）的图象经过点（0，
3
2
）
C、f（x）的图象沿着x轴向右平移
π
6
个单位后所得图象关于y轴对称
D、f（x）在[0，
3π
4
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[0，400） [400，480） [480，550） [550，750）
文科考生 67 35 19 6
理科考生 53 x y z
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设向量
a
，
b
，
c
，满足
a
+
b
+
c
=
0
，（
a
-
b
）⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，则|
a
|+|
b
|+|
c
|=
 
．
若角α的终边经过点P（3，2），则tanα的值为
 
．

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