Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象关于直线x=

2

3

π对称，且它的最小正周期为π，则（　　）

• A、f（x）在区间[

  5π

  12

  ，

  3π

  4

  ]上是减函数
• B、f（x）的图象经过点（0，

  3

  2

  ）
• C、f（x）的图象沿着x轴向右平移

  π

  6

  个单位后所得图象关于y轴对称
• D、f（x）在[0，

  3π

  4

  ]上的最小值为-1

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由周期求出ω，根据对称性求得φ，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：由函数的周期T=π=

2π

ω

，∴ω=2．
再根据函数的图象关于直线x=

2

3

π对称，可得 2×

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
即φ=kπ-

5π

6

，k∈z．
再结合，|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

6

，∴函数f（x）=sin（2x+

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
故函数的减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z，故A不对．
把x=0代入函数的解析式求得f（x）=

1

2

，即函数的图象经过点（0，

1

2

），故B不对．
f（x）的图象沿着x轴向右平移

π

6

个单位后所得图象对应函数的解析式为y=sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]
=sin（2x-

π

6

），显然所得图象不关于y轴对称，故排除C．
当x∈[0，

3π

4

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

3

]，故当2x+

π

6

=

3π

2

时，函数取得最小值为-1，
故D正确，
故选：D．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，属于中档题．