Question

已知{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，且9S₃=S₆
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数若数列{b_n}满足：b₁=

1

a1

，b₂=

1

a1

+

1

a2

，b₃=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

，b_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞2n-2．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出an=2n-1，从而得到b_n=2-

2

2n

，由此利用分组求和法求出T_n=2n+

2

2n

-2，从而能够证明T_n＞2n-2．

解答： 解：∵{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，且9S₃=S₆，
∴a₁=1，

9a1(1-q3)

1-q

=

a1(1-q6)

1-q

，
即9-9q³=1-q⁶，解得q³=8或q³=1（舍），∴q=2．
∴an=2n-1，
∴b_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

2

2n

，
∴T_n=2-

2

2

+2-

2

22

+2-

2

23

+…+2-

2

2n

=2n-2（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）
=2n-2•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n-（2-

2

2n

）
=2n+

2

2n

-2，
∴T_n＞2n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．