Question

设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x²-（2m+1）x+2m＜0}．
（Ⅰ）当m＜

1

2

时，化简集合B；
（Ⅱ）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件（A∪B=A），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）在条件m＜

1

2

下，解相应不等式x²-（2m+1）x+2m＜0，可化简集合B，即得本题结论；（Ⅱ）由A∪B=A，得到集合A、B的关系，再通过比较区间端点，得到m的取值范围，即本题结论．

解答： 解：∵不等式x²-（2m+1）x+2m＜0，
∴（x-1）（x-2m）＜0．
（Ⅰ）当m＜

1

2

时，2m＜1，
∴集合B={x|2m＜x＜1}．
（Ⅱ）若A∪B=A，则B⊆A，
∵A={x|-1≤x≤2}，
①当m＜

1

2

时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒-

1

2

≤m＜

1

2

；
②当m=

1

2

时，B=∅，有B⊆A成立；
③当m＞

1

2

时，B={x|1＜x＜2m}，此时1＜2m≤2⇒

1

2

＜m≤1；
综上所述，m的取值范围是-

1

2

≤m≤1．

点评：本题考查了集合之间的关系以及一元二次不等式的解法，本题有一定的计算量，但思维难度不大，属于基础题．