Question

已知命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集为R；命题乙：函数y=（2a²-a）^x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集为R列式求出a的范围，再利用函数y=（2a²-a）^x为增函数解不等式求得a的范围，然后通过交集、补集运算求出甲真乙假与甲假乙真时实数a的取值集合，取并集得到实数a的取值范围．

解答： 解：当甲为真命题时，A={a|（a-1）²-4a²＜0}={a|a＜-1或a＞

1

3

}，
当乙为真命题时，B={a|2a²-a＞1}={a|a＜-

1

2

或a＞1}．
∴当甲真乙假时，集合M=A∩（∁_RB）={a|

1

3

＜a≤1}；
当甲假乙真时，集合N=（∁_RA）∩B={a|-1≤a＜-

1

2

}．
∴当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是M∪N={a|-1≤a＜-

1

2

或

1

3

＜a≤1}．

点评：本题考查命题的真假判断与运用，考查了数学转化思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．