Question

13．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．
（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的普通方程；直接消掉参数t可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得关于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，得|MN|²=|PM||PN|，变形后代入韦达定理可得a的方程．

解答 解：（1）由ρsin²θ=2acosθ，得ρ²sin²θ=2aρcosθ，即y²=2ax，
由$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消掉t，得y=x-2，
所以曲线C和直线l的普通方程分别为：y²=2ax，y=x-2；
（2）把直线l的参数方程代入y²=2ax，得t²-2$\sqrt{2}$（4+a）t+8（4+a）=0，
设点M，N分别对应参数t₁，t₂，则有t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（4+a），t₁t₂=8（4+a），
因为|MN|²=|PM||PN|，
所以（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁t₂=t₁t₂，即8（4+a）²=5×8（4+a），
解得a=1．

点评 本题考查参数方程、简单的极坐标方程及其与普通方程的互化，考查直线参数方程中参数的意义，考查等比数列的基础知识．