已知$\overrightarrow a$=.$\overrightarrow b$=(sin2.cos2x)．令f(x)=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-1.x∈R.函数g.φ∈的图象关于对称．的解析式.并求φ的值,(Ⅱ)在△ABC中sinC+cosC=1-$\sqrt{2}sin\frac{C}{2}$.求g(B)的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．已知$\overrightarrow a$=（2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow b$=（sin²（$\frac{π}{4}$+x），cos2x）．令f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-1，x∈R，函数g（x）=f（x+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$）的图象关于（-$\frac{π}{6}$，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求φ的值；
（Ⅱ）在△ABC中sinC+cosC=1-$\sqrt{2}sin\frac{C}{2}$，求g（B）的取值范围．

分析（Ⅰ）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的解析式，进一步求出图象的对称中心，即可得到φ的值；
（Ⅱ）由已知条件化简得到sinC的值，求出C=$\frac{5π}{6}$，又$g（B）=2sin（2B+\frac{π}{3}）$，又$0＜B＜\frac{π}{6}$，得到$\frac{π}{3}＜2B+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，即可求出g（B）的取值范围．

解答解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-1=$2si{n}^{2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x-1$=2$sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴$g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ-\frac{π}{3}）$．
∴g（x）的图象的对称中心为$（-ϕ+\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0），k∈Z$．
又已知点（$-\frac{π}{6}，0$）为g（x）的图象的一个对称中心，∴$ϕ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}_{\;}^{\;}（k∈Z）$．
而$ϕ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$ϕ=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由$sinC+cosC=1-\sqrt{2}sin\frac{C}{2}$得$2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}+1-2{sin^2}\frac{C}{2}=1-\sqrt{2}sin\frac{C}{2}$，
即$sin\frac{C}{2}（2cos\frac{C}{2}-2sin\frac{C}{2}+\sqrt{2}）=0$，
∵$sin\frac{C}{2}≠0$，
∴$sin\frac{C}{2}-cos\frac{C}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
两边平方得$sinC=\frac{1}{2}$．
由$sin\frac{C}{2}-cos\frac{C}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
得$sin\frac{C}{2}＞cos\frac{C}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜\frac{C}{2}＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{π}{2}＜C＜π$，$C=\frac{5π}{6}$．
又$g（B）=2sin（2B+\frac{π}{3}）$，
又∵$0＜B＜\frac{π}{6}$，∴$\frac{π}{3}＜2B+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$g（B）∈（\sqrt{3}，2]$．

点评本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，是中档题．

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X1	5	6	7	8
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3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
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