Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中．椭圆C：$\frac{x^2}{2}$+y²=1的右焦点为F，直线为l：x=2
（1）求到点F和直线l的距离相等的点G的轨迹方程．
（2）过点F作直线交椭圆C于点A，B，又直线OA交l于点T，若$\overrightarrow{OT}=2\overrightarrow{OA}$，求线段AB的长；
（3）已知点M的坐标为（x₀，y₀），x₀≠0，直线OM交直线$\frac{{{x_0}x}}{2}$+y₀y=1于点N，且和椭圆C的一个交点为点P，是否存在实数λ，使得${\overrightarrow{OP}^2}=λ\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$？，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设G（x，y），由点G到点F和直线l的距离相等，列出方程，能求出点G的轨迹方程．
（2）由题意得x_A=x_F=c=1，将x_A=1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，能求出AB．
（3）假设存在实数λ满足题意，由已知得OM：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x$，$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y=1$，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，分别联立方程组，能推导出存在实数λ=1，使得${\overrightarrow{OP}^2}=λ\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{2}$+y²=1的右焦点为F，直线为l：x=2，∴F（1，0），
设G（x，y），∵点G到点F和直线l的距离相等，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x-2|，
整理，得y²=-2x+3．
∴点G的轨迹方程为y²=-2x+3．
（2）∵过点F作直线交椭圆C于点A，B，又直线OA交l于点T，$\overrightarrow{OT}=2\overrightarrow{OA}$，
∴AB⊥x轴，由题意得x_A=x_F=c=1，
∴将x_A=1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，解得|y_A|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$．
（3）假设存在实数λ满足题意，
由已知得OM：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x$，①，$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y=1$，②，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，③
由①②，得${x}_{N}=\frac{2{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，${y}_{N}=\frac{2{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，
由①③，得${{x}_{P}}^{2}=\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，${{y}_{P}}^{2}=\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，
∴${\overrightarrow{OP}}^{2}={{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{2（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₀x_N+y₀y_N=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{2（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$．
∴存在实数λ=1，使得${\overrightarrow{OP}^2}=λ\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查线段长的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．