题目内容

5．三棱锥P-ABC是半径为3的球内接正三棱锥，则P-ABC体积的最大值为8$\sqrt{3}$．

分析 设球心到棱锥底面的距离为x，则棱锥的高为x+3，利用勾股定理求出底面边长，代入体积公式，根据不等式的性质求出体积的最大值．

解答 解：设球心O到三棱锥底面ABC的距离为x，则0≤x＜3，
设底面中心为O′，则O′A=$\sqrt{O{A}^{2}-OO{′}^{2}}$=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴底面边长AB=$\sqrt{3}$O′A=$\sqrt{27-3{x}^{2}}$，棱锥的高PO′=x+3，
∴VP-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PO′$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}（27-3{x}^{2}）（x+3）$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3+x）（6-2x）（x+3）≤$\frac{\sqrt{3}}{8}$（$\frac{3+x+6-2x+x+3}{3}$）3=8$\sqrt{3}$．
当且仅当x+3=6-2x即x=1时取得等号．
故答案为8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了球与内接几何体的关系，空间想象能力，体积计算及不等式的应用，属于中档题．

练习册系列答案
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8．已知f（x）=ax5+bsinx+cx+2，若f（2）=5，则f（-2）=（　　）
A．-1B．0C．1D．-5
9．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如表所示：
X15678
P0.4ab0.1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
13．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．
（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．
20．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m，使得对于任意x∈M（M⊆D），有（x-m）∈D且f（x-m）≤f（x），则称f（x）为M上的m度低调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的5度低调函数，那么实数a的取值范围为-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
10．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{4}{x}$+a-3（a∈R）有且仅有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且2x2=x1+x3，则a=-$\frac{11}{6}$．
17．已知函数$f（x）={log_{0.5}}[{{x^2}-2（{2a-1}）x+8}]$，a∈R．
（1）若使函数f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=-1+log0.5（x+3）在[1，3]上仅有一解，求实数a的取值范围．
14．设函数f（x）=4x2+2x，则f（sin$\frac{7π}{6}$）等于（　　）
A．0B．3-$\sqrt{3}$C．2D．3+$\sqrt{3}$
15．如表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁3456789
身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1
根据以上样本数据，她建立了身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=7.19x+73.93，给出下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；    
②回归直线过样本的中心点（42，117.1）；
③儿子10岁时的身高是145.83cm；  
④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4

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