Question

3．已知实数a≥2，试判断函数f（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$$+\frac{a}{e•x}$的零点个数．

Answer 1

分析 令f（x）=0得xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{a}{e}$，分别求出左右两侧函数的最小值和最大值即可得出方程无解，从而得出结论．

解答 解：令f（x）=0得lnx=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{ex}$．∴xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{e}$．
令g（x）=xlnx，h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{e}$，
则g′（x）=lnx+1，h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$．
∴当0＜x$＜\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，当$x＞\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0．
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴g_min（x）=g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，h_max（x）=h（1）=$\frac{1-a}{e}$．
∵a≥2，∴$\frac{1-a}{e}$≤-$\frac{1}{e}$．
∴方程g（x）=h（x）无解，即f（x）无零点．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，函数的单调性与最值，其中构造函数g（x），h（x）为难点，属于中档题，