Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短轴一个端点到右焦点F的距离为2，且过点$（{-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N为椭圆C上不同的两点，A，B分别为椭圆C上的左右顶点，直线MN既不平行与坐标轴，也不过椭圆C的右焦点F，若∠AFM=∠BFN，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a=2，将点代入椭圆方程，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线MN的方程y=k₁x+m，代入椭圆方程，由韦达定理，及k_FM+k_FN=0，即可求得m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k₁，直线MN的方程为y=k₁（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），则直线MN过定点（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

解答 解：（1）由题意可知：短轴一个端点到右焦点F的距离为2，则a=2，
将$（{-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$代入椭圆方程可得$\frac{1}{4}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由（1）可知：F（$\sqrt{3}$，0），
设直线MN的方程y=k₁x+m，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k₁²）x²+8k₁mx+4m²-4=0，
x₁+x₂=-$\frac{8{k}_{1}m}{1+4{k}_{1}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}_{1}^{2}}$，
由∠AFM=∠BFN，则k_FM+k_FN=0，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$=0，
（k₁x₁+m）（x₂-$\sqrt{3}$）+（k₁x₂+m）（x₁-$\sqrt{3}$）=0，
整理得：2k₁x₁x₂-（m-$\sqrt{3}$k₁）（x₁+x₂）-2$\sqrt{3}$m=0，
则2k₁×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}_{1}^{2}}$-（m-$\sqrt{3}$k₁）（-$\frac{8{k}_{1}m}{1+4{k}_{1}^{2}}$）-2$\sqrt{3}$m=0，
解得：m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k₁，
∴直线MN的方程为y=k₁（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
则直线MN过定点（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．