Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}$等于（　　）

• A． $-\frac{5}{3}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 依题意，由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2m-2=0⇒m=1，即$\overrightarrow{a}$=（1，2），于是可得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（0，5），|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=5，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，1），$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=1×3+2×1=5，从而可得$\frac{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（m，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），
且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2m-2=0，
∴m=1，
∴$\overrightarrow{a}$=（1，2），2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（0，5），|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=5，
又$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，1），$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=1×3+2×1=5，
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}$=$\frac{5}{5}$=1．
故选：B．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，求得m=1及2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（0，5）、$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，1）是关键，考查运算求解能力，属于中档题．