Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2，AB=1．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求三棱锥P-ACE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点M，连接EM、CM，可得EM∥PA，再由线面平行的判定可得EM∥平面PAB，求解直角三角形可得MC∥AB，从而得到MC∥平面PAB，再由面面平行的判定可得平面EMC∥平面PAB，从而得到EC∥平面PAB；
（2）由已知条件有AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=2$\sqrt{3}$，可得PA⊥平面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥P-ACE的体积．

解答 （1）证明：取AD的中点M，连接EM、CM，则EM∥PA，
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB，
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CM=AM，
∴∠ACM=60°，
而∠BAC=60°，∴MC∥AB，
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB，
又∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB，
∵EC?平面EMC，
∴EC∥平面PAB；
（2）解：由已知条件有AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=2$\sqrt{3}$，
∵PA⊥平面ABCD，
∴${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$×$2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵E是PD的中点，
∴三棱锥P-ACE的体积等于$\frac{1}{2}{V}_{P-ACD}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．