题目内容

17．如图，在几何体A1B1C1-ABC中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，BB1：CC1：AA1=3：2：1
（Ⅰ）求证：平面A1B1C1⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）F为线段BB1上一点，当A1B1∥平面ACF时，求$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$的值．

分析 （Ⅰ）：取A1B1，AB的中点M，N，连接C1M，CN，MN，只需证明四边形C1MNC是平行四边形，即可得到C1M⊥平面A1ABB1 ，平面A1B1C1⊥平面A1ABB1
（Ⅱ）可得四边形A1AFB1是平行四边形，即B1F=AA1，由BB1：AA1=3：1，得$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）证明：取A1B1，AB的中点M，N，连接C1M，CN，MN，
∴AA1∥BB1∥MN，CC1∥MN；
又因为$MN=\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{2}$，BB1：CC1：AA1=3：2：1
所以$C{C}_{1}=\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{2}=MN$，即四边形C1MNC是平行四边形，∴C1M∥CN
又AA1⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面A1ABB1，
∵平面A1B1C1∩平面A1ABB1=AB，又CN⊥AB，∴CN⊥平面A1ABB1
∴C1M⊥平面A1ABB1 ，又C1M平面A1B1C1
∴平面A1B1C1⊥平面A1ABB1
（Ⅱ）∵A1B1∥平面ACF，A1B1?平面A1ABB1，面ACF∩平面A1ABB1，∴A1B1∥AF．
又AA1∥BB1，所以四边形A1AFB1是平行四边形，∴B1F=AA1，因为BB1：AA1=3：1．
∴$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}$，

点评 本题考查了空间面面平行的判定，线面平行的性质，转化思想，属于中档题，

练习册系列答案
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