Question

已知方程x²+y²-2mx+2my-2=0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A，若点A又在直线l：mx+ny+1=0上，则当正数m，n的乘积取得最大值时直线l的方程是

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题

分析：先根据方程x²+y²-2mx+2my-2=0，确定第三象限的定点A的坐标，代入直线l：mx+ny+1=0上，利用基本不等式，可求正数m，n的乘积的最大值，故可求直线方程．

解答： 解：∵方程x²+y²-2mx+2my-2=0
∴x²+y²-2-2m（x-y）=0
解方程组

x2+y2-2=0 x-y=0

得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

∵A在第三象限
∴A（-1，-1）
∵点A在直线l：mx+ny+1=0
∴m+n=1
∵m＞0，n＞0
∴mn≤(

m+n

2

)2=

1

4

当且仅当m=n=

1

2

时，正数m，n的乘积取得最大值
∴直线l：mx+ny+1=0为直线l：x+y+2=0
故答案为：x+y+2=0

点评：本题以圆的方程为载体，考查定点问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是根据圆的方程确定定点的坐标．