Question

已知函数f(x)=

x2+ax+a

ex

．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线l₀与x=1处的切线l₁相互平行，求实数a的值及此时函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若0＜a＜4，求证：exf（x）＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题

分析：（I）先求导函数，然后函数f（x）在x=0处的切线l₀与x=1处的切线l₁相互平行，则f′（0）=f′（1），求出a的值，最后利用导数符号确定函数的单调性，即可求出函数的单调区间．
（II）原不等式等价于ex

x2+ax+a

ex

＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a），也等价于即

x

ex

＜

a+1

e

+axlnx，
设g（x）=

a+1

e

+axlnx，h（x）=

x

ex

，利用导数工具研究这两个函数的单调性的最值，可知g（x）≥h（x）恒成立，又因为这两个函数不在同一点取最值，从而得出原不等式成立．

解答： 解：（I）由函数f（x）在x=0处的切线l₀与x=1处的切线l₁相互平行，
知：f′（0）=f′（1），
而f′（x）=

-x(x+a-2)

ex

，∴

0×(0+a-2)

e0

=

-(1+a-2)

e1

，解得a=1，
此时f′（x）=

-x(x-1)

ex

，令f′（x）≥0，得0≤x≤1，
故函数f（x）的单调递减区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）；
（II）证明：原不等式等价于ex

x2+ax+a

ex

＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．
∵0＜a＜4，∴x²+ax+a＞0，原不等式等价于ex＜a+1+aexlnx，
即

x

ex

＜

a+1

e

+axlnx，
设g（x）=

a+1

e

+axlnx，h（x）=

x

ex

，
对于g（x），列表如下：

可知，g（x）≥g（

1

e

）=

1

e

；
对于h（x），列表如下：

可知，h（x）≤h（1）=

1

e

；
综上所述，g（x）≥h（x）恒成立，又因为这两个函数不在同一点取最值，
于是g（x）＞h（x）恒成立，
从而 原不等式成立．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．