Question

有1000人患某种病的概率为0.1，采取每k人一组混合化验一次，如果成阴性，这k人化验通过，如果成阳性，还需对这k人每人进行一次化验，以确定患病的人，问k为多少时化验次数最少？

Answer 1

考点：概率的应用

专题：计算题

分析：k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9^k，呈阳性结果的概率为1-0.9^k．当k个人一组的混合血液呈阴性时，可以认为每个人需要化验的次数为

1

k

次；当k个人一组的混合血液呈阳性时，可以认为每个人需要化验的次验为

1

k

+1次．故Eξ=

1

k

×0.9k+(1+

1

k

)(1-0.9k)=1+

1

k

-0.9k．由此能得到k=4时的时化验次数最少．

解答： 解：k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9^k，呈阳性结果的概率为1-0.9^k．
当k个人一组的混合血液呈阴性时，可以认为每个人需要化验的次数为

1

k

次；
当k个人一组的混合血液呈阳性时，可以认为每个人需要化验的次验为

1

k

+1次．
所以ξ的分布列为：（3分）

ξ	1 k	1+ 1 k
P	0.9k	1-0.9k

∴Eξ=

1

k

×0.9k+(1+

1

k

)(1-0.9k)=1+

1

k

-0.9k．
当k=1时，P（ξ=1）=1    Eξ=1．
当k=2时，Eξ=1+

1

2

-0.9²=0.69
当k=3时，Eξ=1+

1

3

-0.93≈0.604；
当k=4时，Eξ=1+

1

4

-0.94≈0.597；
当k=5时，Eξ=1+

1

5

-0.95≈0.609．
比较知k=4时的时化验次数最少．

点评：本题主要考查了数列的应用，考查了离散型变量的数学期望以及计算能力，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．