Question

生产A，B两种产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
产品A	8	12	40	32	8
产品B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）试分别估计产品A、产品B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一产品件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：
①求生产5件产品B所获得的利润不少于300元的概率；
②求生产1件产品A和1件产品B所得的总利润为30元或90元的概率．

Answer 1

考点：相互独立事件的概率乘法公式,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）依题意，用每一种产品的正品数除以100，即得该种产品的正品的概率．
（Ⅱ）（1）设生产5件产品B中有x件正品，次品为（5-x）件，根据100x-20×（5-x）≥300其中0≤x≤5． 求得x的取值范围，利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式求得所求事件的概率．
（2）生产1件产品A和1件产品B所得的总利润有可能是-30、30、90、150，“所得的总利润为30”表示产品A为正品且产品B为次品，“所得的总利润为90”表示产品A为次品且产品B为正品，由此求得所求事件的概率．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，产品A为正品的概率为

80

100

=

4

5

；产品B为正品的概率为

75

100

=

3

4

．
（Ⅱ）（1）设生产5件产品B中有x件正品，次品为（5-x）件，
依题意有100x-20×（5-x）≥300其中0≤x≤5．   
解得x≥

10

3

即x可能取到4或5
设M=“生产5件产品B所获得的利润不少于300元”，则P(M)=

C

4 5

(

3

4

)4(1-

3

4

)1+

C

5 5

(

3

4

)5=

81

128

．
（2）生产1件产品A和1件产品B所得的总利润有可能是-30、30、90、150
“所得的总利润为30”表示产品A为正品且产品B为次品，
“所得的总利润为90”表示产品A为次品且产品B为正品，
设N=“生产1件产品A和1件产品B所得的总利润为30元或90元”，
则P(N)=

4

5

×

1

4

+

1

5

×

3

4

=

7

20

．

点评：本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，体现了转化的数学思想，属于中档题．