Question

已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x²+2x
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）且f（0）=0．
于是x＜0时f（x）=x²+2x．
所以f（x）=

-x2+2x， x≥0 x2+2x， x＜0

．
（Ⅱ）作出函数f（x）=

-x2+2x， x≥0 x2+2x， x＜0

的图象如图：
则由图象可知函数的单调递增区间为[-1，1]
要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，（画出图象得2分）
结合f（x）的图象知 

a-2＞-1 a-2≤1

，
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．