Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，若函数g（x）=3[f（x）]³-4f（x）+m在x$∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上有4个不同的零点，则实数m的取值范围是[$\frac{13}{8}$，$\frac{16}{9}$]．

Answer 1

分析 利用由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得A，T，从而可得ω，又曲线经过（$\frac{2π}{3}$，0），|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式，将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，由导数求出单调区间，结合函数f（x）的图象，即可确定m的取值范围．

解答 解：由图知T=4（$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$）=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（x+φ），
∵f（$\frac{2π}{3}$）=0，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ，k∈Z．
∴φ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
由f（x）的图象可知，对于f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1）上的每一个值，对应着[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的两个x值，
又g（x）=3[f（x）]³-4f（x）+m=0，?m=-3[f（x）]³+4f（x）有4个不同的零点，
令f（x）=t，则m=-3t³+4t．
∵m′=-9t²+4=-9（t+$\frac{2}{3}$）（t-$\frac{2}{3}$），
∴m=-3t³+4t在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上单调递增，在[$\frac{2}{3}$，1]上单调递减，
而当t=$\frac{1}{2}$时，m=$\frac{13}{8}$；当t=$\frac{2}{3}$时，m=$\frac{16}{9}$；当t=1时，m=1，
结合图象可知，对于m∈[$\frac{13}{8}$，$\frac{16}{9}$]上的每一个值，对应着t=f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1）上的两个值，进而对应着[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的4个x值．
故答案为：[$\frac{13}{8}$，$\frac{16}{9}$]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ的值是关键，也是难点，考查识图与运算求解能力，此外还考查了复合函数零点的个数，一元二次方程的实根分布，以及换元法和数形结合法的解题思想，属于基本知识的考查．