Question

在数列{a_n}中，a₁=2，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线2x-y=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a_n+1=2a_n，a₁=2，由此能求出an=2•2n-1=2n．
（Ⅱ）由bn=n•(

1

2

)n，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}中，a₁=2，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线2x-y=0上，
∴a_n+1=2a_n，a₁=2，…（2分）
∴{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an=2•2n-1=2n．…（5分）
（Ⅱ）∵an=2n，b_n=

n

an

，∴bn=n•(

1

2

)n…（6分）
∴Tn=1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，①…（7分）
①×

1

2

：

1

2

Tn=

&1×( 1 2 )

2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1，②…（8分）
①-②：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1…（10分）
∴Tn=2-(n+2)•(

1

2

)n．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．