Question

设函数f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，且f（

α-β

2

）=

4

13

，f（

α+β

2

）=

4

5

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和的余弦公式以及倍角公式将已知化简为一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答．

解答： 解：f(x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)+sin2x=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

(1-cos2x)=

1

2

-

1

2

sin2x，
（1）函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）因为f(

α-β

2

)=

4

13

，f(

α+β

2

)=

4

5

由（1）k可求sin(α-β)=

5

13

，sin(α+β)=-

3

5

．
∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

∴0＜α-β＜

π

4

π＜α+β＜

3π

2

∴cos(α-β)=

12

13

，cos(α+β)=-

4

5

，
∴sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=-

56

65

．

点评：本题考查了三角函数的等价变换以及角的等价变换求三角函数值；本题注意2α=（α-β）+（α+β）