Question

6．已知经过点P（1，$\frac{3}{2}$）的两个圆C₁，C₂都与直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x相切，则这两圆的圆心距C₁C₂等于$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．

Answer 1

分析 设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x都相切，根据点到直线的距离公式得圆心只能在直线y=x上，设C₁（a，a），C₂（b，b），推导出a，b是方程（1-x）²+（$\frac{3}{2}-x$）²=$\frac{{x}^{2}}{5}$的两根，由此能求出．这两圆的圆心距C₁C₂．

解答 解：设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x都相切，
根据点到直线的距离公式得：$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}=\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$，解得y=x，
∴圆心只能在直线y=x上，
设C₁（a，a），C₂（b，b），
则圆C₁的方程为（x-a）²+（y-a）²=$\frac{{a}^{2}}{5}$，
圆C₂的方程为（x-b）²+（y-b）²=$\frac{{b}^{2}}{5}$，
将（1，$\frac{3}{2}$）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（\frac{3}{2}-a）^{2}=\frac{{a}^{2}}{5}}\\{（1-b）^{2}+（\frac{3}{2}-b）^{2}=\frac{{b}^{2}}{5}}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程（1-x）²+（$\frac{3}{2}-x$）²=$\frac{{x}^{2}}{5}$，即$\frac{9{x}^{2}}{5}-5x+\frac{13}{4}$=0的两根，
∴$a+b=\frac{25}{9}$，ab=$\frac{65}{36}$，
∴|C₁C₂|=$\sqrt{（a-b）^{2}+（a-b）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{625}{81}-\frac{65}{9}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题考查两圆的圆心距的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式、韦达定理的合理运用．