Question

14．已知直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），圆C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）
（1）当α=$\frac{π}{3}$时，求C₁被C₂截得的线段的长；
（2）过坐标原点O作C₁的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

Answer 1

分析 （1）联立两个解析式，得到交点，利用两点距离公式得到截得线段的长．
（2）由A对应的参数，得到的参数方程，由此得到普通方程．

解答 解：（1）当a=$\frac{π}{3}$时，C₁的普通方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程为x²+y²=1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得C₁与C₂的交点为（1，0）与（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以，C₁被C₂截得的线段的长为1．                         
（2）将C₁的参数方程代C₂的普通方程得t²+2tcosα=0，
∴A点对应的参数t=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-cosα，
∴A点坐标为（sin²α，-cosαsinα）．
故当α变化时，A点轨迹的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=si{n}^{2}α}\\{y=-sinαcosα}\end{array}\right.$（α为参数）．
因此，A点轨迹的普通方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
故A点轨迹是以（$\frac{1}{2}$，0）为圆心，半径为$\frac{1}{2}$的圆．

点评 本题考查联立解析式，两点距离公式，由对应的参数，得到的参数方程．